Парадоксы теории вероятности

В курсе теории вероятности существуют задачи, решение которых не столь очевидно, как это кажется на первый взгляд. Эти задачи получили название парадоксов теории вероятности. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Проблема Монти Холла. Представьте, что вы играете в игру: выиграть автомобиль, открыв одну из трёх дверей, за двумя из которых находятся козы, за одной - автомобиль. После выбора, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает вам поменять дверь. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор? Стандартный ход решения задачи прост: после того, как ведущий открыл одну дверь, осталось всего две и шанс угадать нужную, составляет 50%, поэтому нет смысла менять уже выбранную дверь. Что если есть возможность увеличить шансы, посмотрев на задачу с другой стороны? Давайте вернемся в момент принятия первого решения. Перед нами 3 двери, шанс того, что за выбранной вами автомобиль = 1/3, значит шанс того, что он находится за двумя оставшимися 2/3. После того, как ведущий открывает дверь, за которой находится коза, означает, что 2/3 приходятся на оставшуюся дверь. Получается, если каждый раз менять дверь, то шансы выиграть автомобиль будут = 2/3, тогда цель задачи в самом начале становится угадать дверь, за которой находится коза, а шансы этого 2/3, т.к. коз две, а автомобиль один.

Парадокс мальчика и девочки. Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок – мальчик. Какова вероятность того, что и второй – тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка. Правильный ответ будет зависеть от того, каким способом мы будем считать. Рассмотрим все возможные комбинации: Мальчик\Девочка; Девочка\Мальчик; Девочка\Девочка (не подходит по условию); Маль- чик\Мальчик. Итог вероятность 1\3.

Рассмотрим второй способ решения. Представим, что мы встретили мистера Смита в парке, гуляющего вместе со своим сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок мальчик? Конечно же, 1\2, так как пол второго ребенка никак не зависит от пола первого. Всё зависит от того, как мы подходим к расчёту вероятности. В первом случае, мы рассматривали все возможные варианты. Во втором случае, мы рассматривали варианты с обязательным условием «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием («условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир,
1990. - 240 с.

Леуш Е.О., Лепский С. С.